miércoles, 24 de junio de 2015

PRISMAS

Prisma (geometría)

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Prisma
Hexagonal Prism BC.svg
Imagen del sólido
Caras2+n total:
2 {n}
n {4}
Aristas3n
Vértices2n
Grupo de simetríaDnh
Poliedro dualBipirámide n-gonal
Propiedades
Poliedro convexo,semi-regular
Plano
Generalized prisim net.svg
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Para otros usos de este término, véase Prisma.
En geometría, un prisma es un poliedro con una base poligonal de nlados, una copia de traslación (no en el mismo plano que la primera), y otras n caras (todas necesariamente deben ser paralelogramos) que une los lados correspondientes de las dos bases. Todas las secciones transversales paralelas a las caras de la base son iguales. Los prismas se nombran para su base, por lo que un prisma de base pentagonal se llama un prisma pentagonal. Los prismas son una subclase de los prismatoides.

Prismas rectos y uniformes generales[editar]

Un prisma recto es un prisma en el que los bordes de unión y las caras son perpendiculares a las caras de la base. Esto se aplica si las caras de unión son rectangulares. Si los bordes de unión y las caras no son perpendiculares a las caras de la base, se llama prisma oblicuo.
Algunos textos pueden aplicar el término de prisma rectangular o prisma cuadrado tanto a un prisma rectangular de lado derecho como a un prisma unilateral cuadrado derecho. El término prisma uniforme puede utilizarse para un prisma recto con lados cuadrados, ya que tales prismas están en el conjunto de poliedros uniforme.
Un prisma n que tiene extremos de polígonos regulares y caras rectangulares, se acerca un sólido cilíndrico cuando n tiende a infinito.
Los prismas rectos con bases regulares y longitudes iguales bordes forman una de las dos series infinitas de poliedros semirregulares, las otras series son los antiprismas.
El dual de un prisma recto es una bipirámide.
Un paralelepípedo es un prisma de que la base es un paralelogramo, o equivalentemente un poliedro con seis caras que son todas paralelogramos.
A un prisma rectangular recto también se lo conoce como cuboide, o informalmente caja rectangular. Un prisma cuadrado derecho es simplemente una caja cuadrada, y también puede ser llamado un cuboide cuadrado.Los prismas son poliedros que constan de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos.
Cada prisma consta de los siguientes elementos:
Bases: son las dos caras iguales y paralelas del prisma, una en la que se apoya y la otra su opuesta. Caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma. Aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. Vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Altura: es la distancia entre las bases. Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del prisma. Se pueden trazar las diagonales de una cara o entre dos caras.

Volumen[editar]

El volumen de un prisma es el producto del área de la base y la distancia entre las dos caras de base, o la altura (en el caso de un prisma no derecho, tener en cuenta que esto significa la distancia perpendicular).
Por consiguiente, el volumen es:
V = B \cdot h
donde B es el área de la base y h es la altura. Por lo tanto, el volumen de un prisma, cuya base es un polígono regular de nlados con una longitud de lado s, es:
V = \frac{n}{4}hs^2 \cot\frac{\pi}{n}.

Simetría[editar]

El grupo de simetría de un prisma recto de n lados con la base regular es Dnh del orden 4n, excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo de simetría octaédrica más grande, del orden 48, que tiene como subgrupos tres versiones de D4h. El grupo de rotación es Dn del orden 2n, excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo O de simetría más grande del orden 24, que tiene como subgrupos tres versiones de D4.
El grupo de simetría Dnh contiene inversión si n es par.

Polítopo prismático[editar]

Un polítopo prismático es una generalización dimensión más alta de un prisma. Un polítopo prismático de n dimensiones se construye a partir de dos (n - 1) polítopos tridimensionales, traducidos a la siguiente dimensión.
El polítopo prismático de n-elementos se duplica a partir de los elementos polítopos (n − 1)- y luego creando nuevos elementos a partir del siguiente elemento inferior.
Tómese un polítopo-n con elementos fi caras-i (i = 0, ..., n). Su prisma polítopo (n + 1) tendrá 2fi + fi−1 i elementos. (Conf−1 = 0, fn = 1.)
Por dimensión:
  • Tomar un polígono con n vértices y n aristas. Su prisma tiene 2n vértices, 3n bordes y 2 + n caras.
  • Tomar un poliedro con v vértices, e aristas y f caras. Su prisma tiene 2v vértices, 2e + v aristas, 2f + e caras, y 2 + fceldas.
  • Tomar un polícromo con v vértices, e aristas, f caras y c celdas. Su prisma tiene 2v vértices, 2e + v bordes, 2f + e caras, y 2c + f y 2 + c hiperceldas.

Polítopo prismático uniforme[editar]

Un polítopo n regular de representado por el símbolo de Schläfli {p, q, ..., t} puede formar un polítopo (n + 1) prismático uniforme representado por un producto cartesiano de dos símbolos de Schläfli: {p, q, ..., t}×{}.
Por dimensión:
  • Un prisma 0 politópico es un segmento de recta, representado por un símbolo de Schläfli vacío {}.
    • Complete graph K2.svg
  • Un prisma politópico-1 es un rectángulo, formado a partir de la traslación de 2 segmentos de línea. Se representa como los el símbolo Schläfli producto {} x {}. Si se trata de un cuadrado, se puede reducir la simetría a: {} x {} = {4}.
    • Square diagonals.svg Ejemplo: Cuadrado, {} x {}, dos segmentos de recta paralelos, conectados por dos lados de segmentos de recta.
  • Un prisma poligonal es un prisma de 3 dimensiones hecho a partir de dos polígonos trasladados, conectados por rectángulos. Un polígono regular {p} puede construir el prisma n-gonal uniforme representado por el producto {p} × {}. Si p = 4, con lados cuadrados simétricos, se convierte en un cubo: {4}×{} = {4, 3}.
  • Un prisma poliédrico es un prisma de 4 dimensiones hecho por dos poliedros trasladados conectados por celdas de prisma de tridimensionales. Un poliedro regular {p, q} puede construir el prisma policórico uniforme, representado por el producto {p, q}×{}. Si el poliedro es un cubo, y los lados son cubos, se convierte en un teseracto: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • ...
Los politopos prismáticos de orden superior también existen como productos cartesianos de dos politopos. La dimensión de un politopo es el producto de las dimensiones de los elementos. El primer ejemplo de esto existe en un espacio de 4 dimensiones llamado duoprisma como el producto de dos polígonos. Los duoprismas regulares se representan como {p}×{q}.
Familia de prismas uniformes
Simetría3456789101112
ImagenTriangular prism.pngTetragonal prism.png
Uniform polyhedron 222-t012.png
Cube rotorotational symmetry.png		Pentagonal prism.pngHexagonal prism.png
Truncated triangle prism.png
Cantic snub hexagonal hosohedron.png		Prism 7.pngOctagonal prism.png
Truncated square prism.png
Cantic snub octagonal hosohedron.png		Prism 9.pngDecagonal prism.pngHendecagonal prism.pngDodecagonal prism.png
Como poliedros esféricos
ImagenSpherical triangular prism.pngSpherical square prism.png
Spherical square prism2.png		Spherical pentagonal prism.pngSpherical hexagonal prism.png
Spherical hexagonal prism2.png		Spherical heptagonal prism.pngSpherical octagonal prism.png
Spherical octagonal prism2.png		Spherical decagonal prism.png
Spherical decagonal prism2.png
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teorema de THALES

en el siguiente link de "PREZI" le mostramos el TEOREMA DE THALES :

  • LA HISTORIA
  • DONDE SURGIO
  • COMO SE UTILIZA
  • EN QUE SE LO APLICA



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AREAS DE FIGURAS

Siguiendo con el tema de GEOMETRIA PLANA (http://paucabrera2015.blogspot.com.ar/2015/06/geometria-plana.html) aqui les dejamos las AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS 

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PIRAMIDES

Pirámide (geometría)

Pirámide cuadrangular.
Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y porcaras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene másvértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.

Tipos de pirámides[editar]

Pirámide oblicua. Los vérticesestán marcados en naranja y lasaristas en rojo. La línea amarilla es una diagonal de la base.
Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.
Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.
Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.
Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.
Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.
Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.
Área de un polígono regular
Partición de polígonos regulares entriángulos isósceles.
La línea roja es un apotema de esteoctógono.
El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y su número de lados. Un polígono regular de n lados puede dividirse en ntriángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular) cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es unapotema del polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en 2n triángulos rectángulos.
El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (At):
A_b = 2 \ n \cdot A_t = 2 \ n \ \frac{\frac{l}{2} \ a}{2} = \frac{n}{2} \ l \cdot a
Donde a es el apotema del polígono regular. Para calcular la longitud del apotema se aplica la trigonometría.
Aparte: Calculemos la apotema a, donde α es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular.:
\tan(\alpha) = \frac{ \frac{l}{2} }{a}
\tan(\alpha) = \frac{l}{2 \cdot a}
a = \frac{l}{2 \cdot \tan(\alpha)}
Ahora reemplazando el valor de la apotema a en el área del polígono regular (Ab) tenemos:
A_b = \frac{n}{2} \ l \cdot a = \frac{n}{2} \ l \cdot \frac{l}{2 \cdot \tan( \alpha )} = \frac{n}{4} \ l^2 \cdot \cot ( \alpha )
El valor del ángulo α resulta de dividir el ángulo completo (2π) por el número de triángulos rectángulos (2n), luego \alpha = 2 \pi / 2 n = \pi / n.
(1)A_b = \frac{n}{4} \ l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right )

Área lateral de una pirámide[editar]

El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.
En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semiproducto de su base (que es igual al lado de la base de la pirámide l ), por su altura (que es el apotema de la pirámide ap ). El área lateral de una pirámide regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras laterales.
(2)A_l = n \cdot \frac{l \cdot a_p}{2} = \frac{p\cdot a_p}{2}
Donde ap es el apotema de la pirámide y p es el perímetro de la base.
Teorema de Pitágoras:
Altura de la pirámide: h = a.
Apotema de la base: ab = b.
Apotema de la pirámide: ap = c.
El apotema de la pirámide (ap) puede calcularse a partir del apotema de la base (ab) y de la altura de la pirámide (h) aplicando el teorema de Pitágoras.
a_p^2 = a_b^2 + h^2

Área total de una pirámide[editar]

El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.
(3)A = A_b + A_l \,
En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base (1) y el área lateral (2) en la ecuación (3), se obtiene:
A= \frac{n}{4} \ l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) + \frac{p\cdot a_p}{2}

Volumen[editar]

El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al ápice de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).
d = h - z \,
Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es
A \left(z\right) = A_b \ \frac{d^2}{h^2} = A_b \ \frac{(h - z)^2}{h^2}
El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.
V = \int_0^h A \left(z\right)\ d z = A_b \int_0^h \frac{(h - z)^2}{h^2}\ d z = -A_b \frac{(h-z)^3}{3h^2} \bigg|_0^h
(4) V = \frac{\ A_b \ h}{3}
Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.

Volumen de una pirámide regular[editar]

El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base Ab (1) en la ecuación del volumen de la pirámide (4) se obtiene:
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{n}{4} \cdot l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cdot \ h

V = \frac{n}{12} \cdot l^2 \cdot h \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right )
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