Geometria Euclidiana

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana,¹ euclídea o parabólica² es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeotridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.

También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides. Ésta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma.

En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidiana para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o degeometría clásica.

Fragmento de Los elementos de Euclides, escrito en papiro, hallado en el yacimiento de Oxirrinco(Egipto).

Índice

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• 1 Interpretaciones
• 2 Geometría plana
• 3 Axiomas
• 4 Postulados
• 5 Limitaciones
• 6 Euclidiano y euclídeo
• 7 Véase también
• 8 Notas y referencias
• 9 Enlaces externos

Interpretaciones[editar]

• Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libroLos elementos, dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente —desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—.
• Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado «producto escalar habitual»).
• Según la filosofía del programa de Erlangen (propuesto por el matemático Felix Klein), la geometría euclídea sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclídeo (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar), al aplicarles transformaciones ortogonales.³

Geometría plana[editar]

La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en unplano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

Axiomas[editar]

Portada de Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático, en el que todos los teoremas («declaraciones verdaderas») derivan de un pequeño número de axiomas.⁴ Un sistema axiomático es aquél que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidas comoaxiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.

Postulados[editar]

Artículo principal: Postulados de Euclides

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (ver quinto postulado de Euclides).

Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:

5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: laelíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).